|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Derdegraadsvergelijking oplossen
Ik heb de volgende breuk die ik moet vereenvoudigen:
1+x+(1/2)*x^2/1+x+(7/12)*x^2
Ik heb op twee manieren geprobeerd deze breuk op te lossen, de eerste is als volgt:
1+x+(6/12)*x^2/1+x+(7/12)*x^2
1+x+(7/12)*x^2-(1/12)*x^2/1+x+(7/12)*x^2
1-(1/12)*x^2/1+x+(7/12)*x^2
Maar schijnbaar is de uitkomst een som waarvan de eerste twee termen
1-(1/12)*x^2+....
moeten zijn (jawel, zonder de deling onder de term van x^2).
Bij polynoomstaartdeling kom ik al op hetzelfde uit (deze doet immers exact hetzelfde, maar dan voorgekauwd zodat studentjes geen fouten kunnen maken).
1+x+(7/12)*x^2 / 1+x+(1/2)*x^2 \ 1
1+x+(7/12)*x^2
______________ -
(6/12-7/12)*x^2
-(1/12)*x^2
In andere woorden, 1, rest -(1/12)*x^2, en dat komt precies uit op mijn antwoord hierboven. Doe ik iets fout ergens of klopt het antwoord gewoon niet (want dat overweeg ik inmiddels wel)?
Antwoord
Het antwoord dat kennelijk gezocht wordt krijg je door (oneindig lang) te blijven staartdelen:
$$
-\frac1{12}x^2 = -\frac1{12}x^2(1+x+\frac7{12}x^2) + (\frac1{12}x^3 +\frac7{144}x^4)
$$
en
$$
\frac1{12}x^3 +\frac7{144}x^4 = \frac1{12}x^3(1+x+\frac7{12}x^2) +(-\frac5{144}x^4-\frac7{144}x^5)
$$
en
$$
-\frac5{144}x^4-\frac7{144}x^5 = -\frac5{144}x^4(1+x+\frac7{12}x^2)+ \cdots
$$
dat levert een oneindige som (een machtreeks) op:
$$
1-\frac1{12}x^2+\frac1{12}x^3-\frac5{144}x^4+\cdots
$$
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
